| Abstract: | Celem książki jest omówienie teorii skal przestrzeni Banacha oraz teorii
interpolacji wraz z podaniem przykładów ich zastosowań. Składa się z trzech
części, z których dwie pierwsze opisują teorię zastosowaną następnie w trzeciej
części, w której zanalizowane są przykłady jej użycia.
W pierwszej kolejności opisane są teoretyczne podstawy teorii interpolacji.
Podane zostały definicje oraz podstawowe twierdzenia dotyczące konstrukcji
przestrzeni interpolacyjnych (interpolacja rzeczywista i zespolona).
Druga, główna część przedstawia definicję potęg ułamkowych operatorów,
w szczególności dodatnich operatorów sektorialnych. Następnie zaprezentowane
jest ich zastosowanie do konstrukcji skal przestrzeni Banacha,
które jako główny obiekt badań są przykładem przestrzeni interpolacyjnych.
W pracy podana jest charakteryzacja skal przestrzeni Banacha, która służy
jako podstawa teoretyczna do opisu zastosowań tej teorii.
W trzeciej części pokazane jest wykorzystanie podanej wcześniej teorii do
badania „zachowań” operatorów na różnych poziomach skali. Udowodnione
zostały twierdzenia dotyczące operatorów domkniętych oraz operatorów sektorialnych.
Gwarantują one, pod pewnymi założeniami, posiadanie tych własności
przez operatory rozważane na dowolnych poziomach skali. Następnie
opisane są konkretne równania cząstkowe, w rozwiązywaniu których można
zastosować powyższą teorię. Podane przykłady dotyczą szukania rozwiązań
o większej regularności pewnych równań drugiego rzędu z warunkami
brzegowymi typu Dirichleta oraz rozwiązywania nieliniowego równania Laplace’a
w oparciu o teorię Henry’ego, która dotyczy równań z nieliniowością
spełniającą warunek Lipschitza na podzbiorach ograniczonych. |