Podgrupy grupy Vershika-Kerova

Abstract

Tematem przedłożonej rozprawy jest grupa Vershika-Kerova. Celem pracy jest opis jej podgrup, które są zdefiniowane analogicznie jak podgrupy grup macierzy skończonego wymiaru oraz które są związane z ważnymi terminami pojawiającymi się w teorii grup. Badania dotyczą podgrup wolnych, komutantów, a także podgrup parabolicznych grupy Vershika-Kerova lub pewnych jej podgrup. Rozdział pierwszy stanowi krótkie wprowadzenie do tematu. Definiujemy macierz nieskończoną oraz działania na macierzach nieskończonych. Wskazujemy własności wprowadzonego działania mnożenia, a następnie przykłady grup macierzy nieskończonego, w tym grupy Vershika-Kerova. Zamieszczamy tu również informacje dotyczące generatorów grup macierzowych, głównie skończenie wymiarowych. Rozdział kończymy zaprezentowaniem pewnych zastosowań macierzy nieskończonych oraz zagadnień z nimi związanych. Rozdział drugi poświęcony jest dolnemu ciągowi centralnemu i ciągowi komutantów. Rozpatrujemy tu najpierw grupy macierzy, których elementy w skończonej liczbie wierszy różnią się od macierzy jednostkowej, a następnie grupę macierzy nieskończonych trójkątnych, których elementy w każdym wierszu mają skończoną liczbę współczynników niczcrowych. Dla tychże grup wskazujemy komutant, a następnie uogólniając nasze metody, opisujemy dolny ciąg centralny oraz ciąg komutantów omawianych grup. Z przeprowadzonych dowodów wnioskujemy, że szerokość wszystkich wskazanych komutantów jest skończona. Wyniki zaprezentowane w tym rozdziale zostały opublikowane w pracy [39]. Rozdział trzeci dotyczy grup wolnych. Ponieważ grupy macierzy skończenie wymiarowych unitrójkątnych nie zawierają żadnych podgrup wolnych, może wydawać się interesującym znalezienie takich podgrup w grupie macierzy nieskończonych unitrójkątnych. Rozpatrujemy tu podgrupy generowane przez dwie macierze. Wskazujemy warunek konieczny, by generowana grupa była wolna rangi 2. Dla pewnej szczególnie prostej postaci generatorów formułujemy warunek konieczny i wystarczający, by otrzymana grupa była wolna. Następnie wskazujemy kolejne rodziny podgrup wolnych grupy macierzy nieskończonych unitrójkątnych. Wskazane w tym rozdziale metody są uogólnieniem rezultatów z artykułu [40]. W rozdziale czwartym koncentrujemy się na podgrupach parabolicznych. Podgrupy te zawierają wszystkie macierze górnotrójkątne. Zostały one opisane zarówno dla przypadku pełnej grupy liniowej (dowolnego wymiaru skończonego) jak i grupy Vcrshika-Kerova. Wykazano, że są one ściśle związane z pierścieniem nad którym zdefiniowane są nasze macierze, a dokładniej z ideałami tego pierścienia. Aby rozwinąć te badania, wprowadzamy grupę, która w tej rozprawie nazywana jest specjalną grupą Vershika-Kerova, a która jest analogonem specjalnej grupy liniowej w grupie macierzy nieskończonych. Udowodniamy, że dla grupy tej opis jej podgrup parabolicznych jest analogiczny jak dla grupy Vershika-Kerova. Wyniki przytoczone w tym rozdziale zostały opisane w pracy [24]. Powszechnie wiadomym jest, że struktura grupy macierzy zależy od pierścienia nad którym macierze te są zdefiniowane. Przedstawione w różnych rozdziałach rezultaty pozostają prawdziwe dla różnych klas pierścieni. Aby nie zakłócać rozważań dotyczących grupy komentarzami dotyczącymi własności pierścieni, pozwalamy sobie na zamieszczenie krótkiego dodatku (Dodatek A), w którym zebrane są definicje oraz parę przykładów pierścieni, które pojawiają się w tekście.