| Abstrakt: | Praca ta w całości poświęcona jest następującemu równaniu funkcyjnemu
^2 f{x + *V) = \K\oc(y)g(x) + \K\h(y), x,y G 5, (*)
A eh'
gdzie (S, +) jest półgrupą abelową, K jest skończoną podgrupą grupy automorfizmów S, symbolem
\K\ oznaczamy liczbę elementów grupy K, X jest przestrzenią liniową nad ciałem K G {M, C}
oraz f ,g,h: S —► X, a : S —► K.
Inspiracja do badania równania (*) płynie z wielu źródeł. W teorii funkcji specjalnych bada
się funkcje if-sferyczne (zobacz [35]). Funkcja / : G —> C, / ^ 0, jest funkcją -sferyczną jeśli
istnieje taka niezerowa funkcja g : G —* C, że
/ g{x +Xy)d^(X) = g(x)f(y), x , y eG,
Jk
gdzie (G, +) jest grupą lokalnie zwartą, a K zwartą podgrupą grupy automorfizmów G z unormowaną
miarą Haara /v, (funkcja / spełnia wtedy równanie
[ f{x + \y)dfi(X) = f(x)f(y), x,y&G) .
J k
Równaniu funkcji if-sferycznych poświęcone są m. in. prace W. Chojnackiego [11], H. Stetkaera
[33] czy H. Shin’ya, [26].
Równanie (*) jest uogólnieniem równania funkcji /f-sferycznych w przypadku skończonej grupy
K. Ponadto równanie (*) jest wspólnym uogólnieniem wielu klasycznych równań funkcyjnych.
Biorąc K = {id}, a = l, f = g = h otrzymujemy równanie Cauchy’ego
f ( x + y) = f (x) + f(y), x,y £ S,
z tym samym K przyjmując f = g = a, h = 0 (X = C) jego wykładniczą wersję
f ( x + y) = f{x)f(y), x , y e S .
Ogólnie w przypadku K = {id} mamy
f ( x + y) = a(y)g(x) + h{y), x,y G S to równanie znajdziemy m. in. w monografii J. Aczela ([1, Theorem 3.1.3.1]).
Jeśli S jest grupą, to biorąc K = {id, —id} oraz a = 1, f = g = h równanie (*) redukuje się do
równania funkcjonałów kwadratowych
f ( x + y) + f{x - y ) = 2f{x) + 2/ ( 2/), x,y e S.
Pozostając przy powyższych grupach S i K, przyjmując a = 1, f = g, h = 0 dostajemy równanie
Jensena
f ( x + y) + f ( x - y ) = 2f(x), x,y € 5,
przy a = 1, / = g h(y) = y £ S otrzymujemy równanie Drygasa
f ( x + y) + f ( x - y ) = 2 f (x) + f(y) + f ( - y ) , x,y € S,
a w przypadku / = g, h = 0 równanie Wilsona
f ( x + y) + f ( x - y ) = 2a(y)f(x), x,y e S.
Inne szczególne przypadki równania (*) odnajdziemy w pracach W. Fórg-Roba i J. Schwaigera
[14] oraz Z. Gajdy [16], gdzie autorzy badali rozwiązania równania
J 2 f ( x + Ay) = \K\ f(x)f(y), x , y € G
a eK
dla funkcji f określonej na grupie przemiennej (G, +) i o wartościach w ciele o charakterystyce
nie będącej dzielnikiem liczby \K\. Podobnie w serii prac H. Stetkaera [29], [30], [32] autor badał
ciągłe rozwiązania zespolone następujących szczególnych przypadków równania (*)
N- 1
f {x + u>ny) = Nf(x)g(y), x, y G C,
71=0
N- 1
^ 2 f ( x + u]ny) = Ng(x) + Nh(y), x , y €C,
71=0
gdzie u; oznacza pierwiastek stopnia N z jedynki.
Celem tej pracy jest podanie pełnego opisu postaci rozwiązań równania (*) czym zajmiemy
się w Rozdziale 1. Nasze badania podzielimy na dwa główne przypadki. Pierwszy, gdy a jest
funkcją stałą i drugi z niestałą funkcją a.
Rozdział 2 w całości poświęcony jest problemowi stabilności równania (*). Podobnie jak
poprzednio i tutaj osobno rozpatrujemy przypadek stałej funkcji a i osobno przypadek, gdy
funkcja a nie jest stała. |