Skip navigation

Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/20.500.12128/5394
Title: Wspólne uogólnienie równania funkcjonałów kwadratowych i równania Wilsona
Authors: Łukasik, Radosław
Advisor: Badora, Roman
Keywords: równania funkcyjne; równanie Wilsona
Issue Date: 2013
Publisher: Katowice : Uniwersytet Śląski
Abstract: Praca ta w całości poświęcona jest następującemu równaniu funkcyjnemu ^2 f{x + *V) = \K\oc(y)g(x) + \K\h(y), x,y G 5, (*) A eh' gdzie (S, +) jest półgrupą abelową, K jest skończoną podgrupą grupy automorfizmów S, symbolem \K\ oznaczamy liczbę elementów grupy K, X jest przestrzenią liniową nad ciałem K G {M, C} oraz f ,g,h: S —► X, a : S —► K. Inspiracja do badania równania (*) płynie z wielu źródeł. W teorii funkcji specjalnych bada się funkcje if-sferyczne (zobacz [35]). Funkcja / : G —> C, / ^ 0, jest funkcją -sferyczną jeśli istnieje taka niezerowa funkcja g : G —* C, że / g{x +Xy)d^(X) = g(x)f(y), x , y eG, Jk gdzie (G, +) jest grupą lokalnie zwartą, a K zwartą podgrupą grupy automorfizmów G z unormowaną miarą Haara /v, (funkcja / spełnia wtedy równanie [ f{x + \y)dfi(X) = f(x)f(y), x,y&G) . J k Równaniu funkcji if-sferycznych poświęcone są m. in. prace W. Chojnackiego [11], H. Stetkaera [33] czy H. Shin’ya, [26]. Równanie (*) jest uogólnieniem równania funkcji /f-sferycznych w przypadku skończonej grupy K. Ponadto równanie (*) jest wspólnym uogólnieniem wielu klasycznych równań funkcyjnych. Biorąc K = {id}, a = l, f = g = h otrzymujemy równanie Cauchy’ego f ( x + y) = f (x) + f(y), x,y £ S, z tym samym K przyjmując f = g = a, h = 0 (X = C) jego wykładniczą wersję f ( x + y) = f{x)f(y), x , y e S . Ogólnie w przypadku K = {id} mamy f ( x + y) = a(y)g(x) + h{y), x,y G S to równanie znajdziemy m. in. w monografii J. Aczela ([1, Theorem 3.1.3.1]). Jeśli S jest grupą, to biorąc K = {id, —id} oraz a = 1, f = g = h równanie (*) redukuje się do równania funkcjonałów kwadratowych f ( x + y) + f{x - y ) = 2f{x) + 2/ ( 2/), x,y e S. Pozostając przy powyższych grupach S i K, przyjmując a = 1, f = g, h = 0 dostajemy równanie Jensena f ( x + y) + f ( x - y ) = 2f(x), x,y € 5, przy a = 1, / = g h(y) = y £ S otrzymujemy równanie Drygasa f ( x + y) + f ( x - y ) = 2 f (x) + f(y) + f ( - y ) , x,y € S, a w przypadku / = g, h = 0 równanie Wilsona f ( x + y) + f ( x - y ) = 2a(y)f(x), x,y e S. Inne szczególne przypadki równania (*) odnajdziemy w pracach W. Fórg-Roba i J. Schwaigera [14] oraz Z. Gajdy [16], gdzie autorzy badali rozwiązania równania J 2 f ( x + Ay) = \K\ f(x)f(y), x , y € G a eK dla funkcji f określonej na grupie przemiennej (G, +) i o wartościach w ciele o charakterystyce nie będącej dzielnikiem liczby \K\. Podobnie w serii prac H. Stetkaera [29], [30], [32] autor badał ciągłe rozwiązania zespolone następujących szczególnych przypadków równania (*) N- 1 f {x + u>ny) = Nf(x)g(y), x, y G C, 71=0 N- 1 ^ 2 f ( x + u]ny) = Ng(x) + Nh(y), x , y €C, 71=0 gdzie u; oznacza pierwiastek stopnia N z jedynki. Celem tej pracy jest podanie pełnego opisu postaci rozwiązań równania (*) czym zajmiemy się w Rozdziale 1. Nasze badania podzielimy na dwa główne przypadki. Pierwszy, gdy a jest funkcją stałą i drugi z niestałą funkcją a. Rozdział 2 w całości poświęcony jest problemowi stabilności równania (*). Podobnie jak poprzednio i tutaj osobno rozpatrujemy przypadek stałej funkcji a i osobno przypadek, gdy funkcja a nie jest stała.
URI: http://hdl.handle.net/20.500.12128/5394
Appears in Collections:Rozprawy doktorskie (WMFiCH)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Lukasik_Wspolne_uogolnienie_rownania_funkcjonalow.pdf2,14 MBAdobe PDFView/Open
Show full item record


Items in RE-BUŚ are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.