Skip navigation

Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/20.500.12128/5397
Title: Relacje spełniane przez odwzorowania stopnia 5
Authors: Maciejewski, Maciej
Advisor: Prószyński, Andrzej
Keywords: matematyka; odwzorowania; twierdzenia; lematy; wnioski
Issue Date: 2013
Publisher: Katowice : Uniwersytet Śląski
Abstract: Niech R będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Wśród wszystkich odwzorowań pomiędzy il-modułami można wyróżnić takie, które są scharakteryzowane przez pewne warunki typu równości. Na przykład odwzorowania liniowe spełniają następujące dwa warunki: (1) f(rx) = rf(x) ,r € R, (2) f ( x + y) = f ( x ) + f(y), gdzie x , y są dowolnymi elementami dziedziny /. Odwzorowania kwadratowe można scharakteryzować przy pomocy następujących warunkow: (1) f(rx) — r2f(x), t G R, (2) funkcja dwoch zmiennych A2/ określona wzorem (A2/)(:r, y) = f ( x + y) - f(x) - f{y) jest dwuliniowa. Uogólnieniem obu powyższych typów odwzorowań są tak zwane m—odwzorowania zdefiniowane w [1]. Zostaną one omówione w dalszej części pracy. W [4] udowodniono, że wszystkie odwzorowania pochodzące z wielomianów jednorodnych stopnia m są m— odwzorowaniami, jednak, w przeciwieństwie do przypadków m = 1 oraz m = 2, na ogół nie na odwrót. Oznacza to, że przy m > 2 potrzebne są dodatkowe warunki typu równości. Przez warunek typu równości będziemy rozumieli związek • rj f(^2k SjkXk) — 0, gdzie j, k przebiegają skończone zbiory indeksów, Tj,Sjk € R oraz Xk są dowolnymi elementami dziedziny odwzorowania / . Przy tym wygodnie jest zakładać, że rj,Sjk są ustalone dla każdej równości. Jeśli natomiast są one traktowane jako dodatkowe zmienne, to tak rozumianą równość nazywamy ścisłą. Dokładniej mówiąc, rj oraz sjk rozumiemy wówczas jako ustalone funkcje wielomianowe skończonej ilości zmiennych o współczynnikach z Z, do których możemy podstawić dowolne elementy pierścienia (dla przykładu w warunku (1) powyżej występuje wyrażenie r2, w ktorym zmienną niezależną jest r). Kiedy więc mówimy o ścisłych równościach, dotyczą one odwzorowań pomiędzy modułami nad dowolnym pierścieniem przemiennym R. Klasę A odwzorowań pomiędzy i?-modułami nazywamy równościowo definiowalną, jeśli składa się ona ze wszystkich odwzorowań / : X —> Y (X , Y G R — Mod) spełniających ustalony zestaw warunków typu równości, tzn. takich odwzorowań, dla których ^ ^ijk-Ek) — 0, i G G X } k przy pewnych ustalonych Tij,Sijk £ R. Jeśli R nie jest ustalonym, lecz dowolnym pierścieniem i równości te są ścisłe, to klasę także nazywamy ścisłą. Klasa Horrid odwzorowań pochodzących od wielomianów jednorodnych stopnia m nad ustalonym pierścieniem R na ogoł nie jest równościowo definiowalna. Winę za to ponosi fakt, że z reguły wielomiany i odwzorowania wielomianowe nie są tym samym. Istnieje jednak najmniejsza klasa równościowo definiowalna ED(HomJj) zawierająca H o r n przy czym wiadomo z [7], że klasy te są równe nad dowolnym ciałem. Inną sprawą jest kwestia, czy ta klasa jest ścisła, czy też nie. Odpowiedź na to pytanie daje [3], Theorem 6.2. Okazuje się, że jest tak dokładnie wtedy, gdy Tri < 5. Równości definiujące klasę ED(Hom^) będziemy nazywali pełnym zestawem równości dla klasy H o r n Jeśli rowności te są ścisłe, będziemy mówili o pełnym zestawie równości dla klasy Homm. Jedną z równości, którą spełniają odwzorowania klasy H o r n jest tak zwany warunek regularności. W przypadku m = 3 pokazuje się ([7]), że klasa ED(Hom?R) jest identyczna z klasą regularnych 3-odwzorowań. W przypadku m = 4 potrzebne są jeszcze trzy dodatkowe ścisłe równości. Dokładny wynik dla m = 3 i m = 4 przedstawimy w następnym rozdziale. Przypadek m = 5, jako ostatni niezbadany, jest przedmiotem niniejszej pracy. Dla m = 5 rozwiązanie składa się z dwóch części. Jedna z wersji pierwszej części została opublikowana w pracy [2]. W niniejszej pracy przypadek m = 5 zostanie zbadany niezależnie z wykorzystaniem innej metody, niż było to zrobione w [2]. Warunkiem zastosowania tej metody jest znajomość relacji spełnianych przez elementy r 2 — r, r 3 — t oraz r4 — r pierścienia R. W pierwszym rozdziale podajemy definicje i twierdzenia znane z prac [4], [5], [7]. W rozdziale drugim znajdujemy relacje generujące pomiędzy elementami rn — r, gdzie n = 2l, l = 1,2,... (Twierdzenie 2.6) oraz relacje generujące pomiędzy elementami r 3 — r pierścienia przemiennego (Twierdzenie 2.10). W rozdziale trzecim znajdujemy relacje tworzące pełny zestaw tzw. 3-rowności dla klasy Horn5 (Twierdzenie 3.3 oraz Twierdzenie 3.4). W rozdziale czwartym znajdujemy relacje tworzące pełny zestaw tzw. 2-rowności dla klasy Hom5 (Twierdzenie 4.2 oraz Twierdzenie 4.3). W rozdziale piątym podsumowujemy badania nad relacjami spełnianymi przez odwzorowania stopnia 5, zawarte w Podrozdziale 3.2 oraz Rozdziale 4. W całej pracy stosujemy podwójną numerację, osobno dla twierdzeń, lematów, wniosków i definicji.
URI: http://hdl.handle.net/20.500.12128/5397
Appears in Collections:Rozprawy doktorskie (WNŚiT)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Maciejewski_Relacje_spelniane_przez_odwzorowania.pdf1,4 MBAdobe PDFView/Open
Show full item record


Items in RE-BUŚ are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.