| Abstrakt: | W celu ułatwienia lektury niniejszej pracy, przedstawimy poniżej jej zarys. Dla zapewnienia
wygody w redagowaniu twierdzeń i ich dowodów, w pracy przyjęto, aby terminem
operator nazywać odwzorowanie liniowe. Pierwszy rozdział zawiera znane fakty z teorii
operatorów (podrozdział 1.1), które będą użyteczne w dalszych rozdziałach. Ponadto w
podrozdziałach 1.2, 1.3, 1.4 autor zamieścił swoje wyniki własne dotyczące teorii operatorów,
które nie dotyczą bezpośrednio głównego tematu rozprawy, jednakże stanowią
ważne narzędzie, stosowane niejednokrotnie w rozdziale drugim. W podrozdziale 1.5 autor
przedstawia przy okazji „nowy” dowód, znanego twierdzenia o rozkładzie polarnym
operatora określonego na skończenie wymiarowej przestrzeni unitarnej.
Niech X, Y będą przestrzeniami unitarnymi, h , f : X —> Y operatorami oraz niech
£ € [0,1) będzie ustalone. Prace [11], [12], [47] dotyczą operatorów zachowujących ortogonalność
lub prawie zachowujących ortogonalność, tzn. spełniających odpowiednio warunki
VIiJ/Gx oc±y => hxLhy (0.1)
lub
xLy => /x J 5 /y , (0-2)
gdzie Jf oznacza przybliżoną (prawie) ortogonalność. We wspomnianych pracach wykazano
opis powyższych operatorów. W kontekście tej klasy operatorów narzucają się
następujące pytania. Czy operatory spełniające (0.2) można aproksymować (przybliżać)
takimi, które spełniają (0.1)? Ile wynosi wtedy najmniejsza odległość ||/ — h\\ lub jak
ją oszacować? Czy ta odległość między operatorami zależy od e w taki sposób, że im
mniejsze e tym mniejsza odległość operatora h od operatora / ? W ten sposób pojawił się
problem stabilności, który w pracach [12] oraz [47] został rozwiązany.
Celem tej rozprawy jest zaprezentowanie nowych, niekiedy ogólniejszych wyników dotyczących
zachowywania ortogonalności (lub podobnych relacji) przez operatory w przestrzeniach
unitarnych bądź unormowanych. Autor rozprawy starał się uogólnić wspomniane
wyniki dwoma sposobami. W pierwszym z nich ortogonalność oraz przybliżoną
ortogonalność wektorów zastąpiono dowolnym (ale ustalonym) kątem pomiędzy wektorami
oraz odpowiednio przybliżonym kątem. Zatem chodzi wtedy o operatory zachowujące
(lub prawie zachowujące) dany kąt. Podobnie jak wcześniej, tak i teraz, pojawia się problem
stabilności. Uzyskane uogólnienia pozwoliły na otrzymanie dodatkowych rezultatów
takich jak na przykład istotne wzmocnienie wyników z pracy [30]. Ponadto, ulepszono
znacznie pewien rezultat z pracy [47] w przypadku zespolonym. Wszystko, o czym teraz
wspomnieliśmy, znajduje się w podrozdziałach 2.1, 2.2, 2.3 oraz 2.4 rozdziału 2. Natomiast
w podrozdziale 2.5 prowadzone są rozważania na temat struktury zbioru wszystkich operatorów
prawie zachowujących ortogonalność. W szczególności wykazano tam, że zbiór
wszystkich operatorów prawie zachowujących ortogonalność jest otwarty w przestrzeni
B{X]Y) .
Drugi sposób uogólnienia operatorów spełniających (0.2) lub (0.1) polega na rozważaniu
przestrzeni unormowanych (w dziedzinie i przeciwdziedzinie operatorów) zamiast
przestrzeni unitarnych jak dotychczas. Z kolei te uogólnienia zostały rozmieszczone w rozdziałach
4 oraz 5, które są rozwinięciem bądź kontynuacją tematów z [17] oraz [48]. Ponadto,
rozdziały 4 i 5 są również uzupełniem do prac [16] i [38]. Oczywiście aby uogólnienia te
miały sens, należy wcześniej zdefiniować „nowe” relacje w przestrzeni unormowanej, które
byłyby odpowiednikami obu relacji J_, _lf. Należy przy tym zadbać o to, żeby ta „nowa
definicja ortogonalności”, zastosowana w przestrzeni unitarnej, zbiegała się ze standardową
ortogonalnością. Rozdział 3 jest właśnie ukierunkowany na różne sposoby definiowania
ortogonalności w przestrzeniach unormowanych. Ponieważ ortogonalność można definiować
na wiele sposobów w przestrzeni unormowanej, autor duży nacisk położył na relacje
p±-ortogonoalności oraz p-ortogonalności, jak również na operatory zachowujące te relacje.
Przedstawiony w tamtym rozdziale materiał, w szczególności w podrozdziałach 3.2,
3.3, stanowi kontynuację tematyki badanej w pracach [17] oraz [19]. W podrozdziale 3.3
podano warunki równoważne gładkości oraz semi-gładkości normy.
Warto w tym miejscu wspomnieć, że zagadnienia stabilnościowe operatorów, omawianych
w dwóch ostatnich rozdziałach, są silnie powiązane ze stabilnością liniowych izometrii.
Ta ostatnia tematyka była intensywnie badana już od lat 60-tych XX wieku, na
przykład w pracach [5], [6], [7], [20], [27], [35], [42].
Twierdzenia, lematy i wnioski będące efektem badań prowadzonych przez autora, są
podane zawsze z dowodem. Natomiast przy twierdzeniach innych autorów zawsze jest
podany odsyłacz do prac, w których można je odnaleźć. |