| Abstrakt: | Obrona odcinka pojawia się zwykle w zagadnieniach obrony obszaru jako problem częściowy lub pomocniczy, patrz cytowany wyżej przykład 9.6.4. Poza tym odcinek jest broniony przed atakiem z pewnego kierunku. W tej pracy zajmujemy się wyłącznie zagadnieniem obrony odcinka położonego na płaszczyźnie R2. Zakładamy
przy tym przewagę prędkości po stronie napastnika. Dając napastnikowi możliwość krążenia wokół bronionego odcinka zmieniamy istotnie charakter rozważanej gry, a w konsekwencji również sposób jej rozwiązania. W przypadku rozważanej w pracy gry obrony odcinka, w której gracze poruszają się tak zwanym ruchem prostym,
rozwiązanie gry otrzymujemy konstruując stosowną parę zbiorów wypukłych. Niejako przy okazji otrzymujemy też jawny wzór wyznaczający maksymalną długość możliwego do obrony odcinka. Ponieważ w pracach [10] i [18] użyto z powodzeniem podobnych metod, to można zaryzykować przypuszczenie, że rozwiązanie każdego
(analogicznego) problemu obrony obszaru o pewnych ekstremalnych własnościach będzie wyznaczone przez odpowiednią parę zbiorów wypukłych. Pracę można podzielić na trzy części. Część pierwszą stanowią rozdziały pierwszy, drugi i trzeci. W części pierwszej podajemy potrzebne dalej własności zbiorów 1 funkcji wypukłych (wklęsłych) oraz wybrane elementy teorii miary i całki. Niektórych własności dowodzimy, chociaż wydają się znane lub oczywiste. Powodem takiego postępowania są trudności ze wskazaniem stosownej bibliografii. Wprowadzamy również kilka podstawowych konstrukcji używanych w następnych rozdziałach.
Głównym celem konstrukcji jest przybliżenie wspomnianej wyżej pary zbiorów wypukłych odpowiednią parą wielokątów wypukłych. W końcowej części rozdziału trzeciego zajmujemy się kluczowym dla tej pracy pojęciem układu obronnego. Główną część pracy stanowią rozdziały czwarty, piąty i szósty. W rozdziale czwartym opisujemy rozważaną w pracy grę obrony odcinka. Definiujemy tam zbiory trajektorii i strategii dopuszczalnych oraz cenę gry. Celem rozdziałów piątego i szóstego jest wyznaczenie ceny gry. W rozdziale piątym, korzystając z odpowiednich własności układów obronnych, otrzymujemy dolne oszacowanie ceny gry. Na początku rozdziału szóstego dowodzimy lematu umożliwiającego w dalszej części rozdziału ustalenie wzajemnych relacji pomiędzy prędkościami kątowymi wektorów
y (t) oraz y (t) — x (t) , gdzie y (t) , x (t) są położeniami napastnika i obrońcy w chwili t > 0. W wyniku otrzymujemy górne oszacowanie ceny gry, pokrywające się z oszacowaniem dolnym.
Uzyskany w rozdziałach piątym i szóstym wynik dotyczy obrony odcinka położonego na osi odciętych, symetrycznie względem osi rzędnych. W ostatnim, siódmym rozdziale, korzystając z faktu, że przesunięcie i obrót są izometriami, przenosimy ten wynik standardowym sposobem na przypadek dowolnie położonego odcinka. |