Silnie wypukłe procesy stochastyczne

Abstract

Rozprawa składa się z czterech rozdziałów. Rozdział pierwszy zawiera przede wszystkim podstawowe defi nicje związane z różnego rodzaju wypukłościami procesów stochastycznych, oraz pomocnicze lematy, które zostały wykorzystane w dalszej części pracy. W rozdziale drugim prezentowane są stochastyczne odpowiedniki klasycznych twierdzeń z analizy rzeczywistej, które charakteryzuj¡ wypukłe i silnie wypukłe funkcje (zobacz. [24]; lub [13]). Pojawia się tam między innymi charakteryzacja silnie wypukłego procesu stochastycznego za pomocą podparcia, pierwszej pochodnej, oraz za pomocą drugiej pochodnej. Zaprezentowane zostaną także nierówności typu: Jensena (dyskretna i całkowa), Hermite'a-Hadamarda, a także Fejera. Rozdział trzeci poświęcony jest procesom silnie wypukłym w sensie Jensena. Można w nim znaleźć między innymi odpowiedniki nierówności Jensena, twierdzenia Kuhna, twierdzenia typu Bernsteina-Doetscha i twierdzenia Sierpińskiego. W rozdziale czwartym zostały natomiast opisane procesy silnie wypukłe w sensie Wrighta. Między innymi można znaleźć w nim charakteryzację silnie wypukłych procesów stochastycznych w sensie Wrighta, która jest odpowiednikiem dobrze znanej charakteryzacji Ng'ego [18] dla funkcji wypukłych w sensie Wrighta, oraz twierdzenie o silnie wypukłym w sensie Jensena procesie majoryzowanym przez silnie wklęsły w sensie Jensena proces stochastyczny.