Scales of Banach spaces, theory of interpolation and their applications

Abstract

Celem niniejszej monografii jest omówienie teorii skal przestrzeni Banacha oraz teorii interpolacji wraz z podaniem przykładów ich zastosowan. Praca składa sie z trzech czesci: dwie pierwsze opisuja teorie zastosowana nastepnie w czesci trzeciej, w której zanalizowane sa przykłady jej uzycia. Wpierwszej kolejnosci opisano teoretyczne podstawy teorii interpolacji. Podano definicje oraz podstawowe twierdzenia dotyczace konstrukcji przestrzeni interpolacyjnych (interpolacja rzeczywista i zespolona). Druga, główna, czesc monografii przedstawia definicje poteg ułamkowych operatorów, w szczególnosci dodatnich operatorów sektorialnych. Zaprezentowano takze ich zastosowanie do konstrukcji skal przestrzeni Banacha, które jako główny obiekt badan sa przykładem przestrzeni interpolacyjnych. W pracy zamieszczono równiez charakteryzacje skal przestrzeni Banacha, która słuzy jako podstawa teoretyczna do opisu zastosowan tej teorii. W trzeciej czesci omówiono zastosowanie podanej wczesniej teorii do badania „zachowan” operatorów na róznych poziomach skali. Udowodniono twierdzenia dotyczace operatorów domknietych oraz operatorów sektorialnych. Gwarantuja one, pod pewnymi załozeniami, posiadanie tych własciwosci przez operatory rozwazane na dowolnych poziomach skali. Nastepnie opisano konkretne równania czastkowe, w rozwiazywaniu których mozna zastosowac wspomniana teorie. Podane przykłady dotycza szukania rozwiazan o wiekszej regularnosci pewnych równan drugiego rzedu z warunkami brzegowymi typu Dirichleta oraz rozwiazywania nieliniowego równania Laplace’a na podstawie teorii Henry’ego, która dotyczy równan z nieliniowoscia spełniajaca warunek Lipschitza na podzbiorach ograniczonych.