Abstract: | Celem niniejszej monografii jest omówienie teorii skal przestrzeni Banacha oraz teorii interpolacji
wraz z podaniem przykładów ich zastosowan. Praca składa sie z trzech czesci: dwie pierwsze
opisuja teorie zastosowana nastepnie w czesci trzeciej, w której zanalizowane sa przykłady jej
uzycia.
Wpierwszej kolejnosci opisano teoretyczne podstawy teorii interpolacji. Podano definicje oraz
podstawowe twierdzenia dotyczace konstrukcji przestrzeni interpolacyjnych (interpolacja rzeczywista
i zespolona).
Druga, główna, czesc monografii przedstawia definicje poteg ułamkowych operatorów,
w szczególnosci dodatnich operatorów sektorialnych. Zaprezentowano takze ich zastosowanie do
konstrukcji skal przestrzeni Banacha, które jako główny obiekt badan sa przykładem przestrzeni
interpolacyjnych. W pracy zamieszczono równiez charakteryzacje skal przestrzeni Banacha, która
słuzy jako podstawa teoretyczna do opisu zastosowan tej teorii.
W trzeciej czesci omówiono zastosowanie podanej wczesniej teorii do badania „zachowan”
operatorów na róznych poziomach skali. Udowodniono twierdzenia dotyczace operatorów domknietych
oraz operatorów sektorialnych. Gwarantuja one, pod pewnymi załozeniami, posiadanie
tych własciwosci przez operatory rozwazane na dowolnych poziomach skali. Nastepnie opisano
konkretne równania czastkowe, w rozwiazywaniu których mozna zastosowac wspomniana teorie.
Podane przykłady dotycza szukania rozwiazan o wiekszej regularnosci pewnych równan drugiego
rzedu z warunkami brzegowymi typu Dirichleta oraz rozwiazywania nieliniowego równania Laplace’a
na podstawie teorii Henry’ego, która dotyczy równan z nieliniowoscia spełniajaca warunek
Lipschitza na podzbiorach ograniczonych. |