Abstrakt: | Czego nowego można się spodziewać po jeszcze jednej książce z topologii,
a zwłaszcza poświęconej wielokrotnie i dobrze przedstawianym działom
topologii przestrzeni euklidesowych? Zapewne niewiele i autor zdaje sobie
sprawę z niewdzięcznego trudu, mimo to napisał książkę — przede wszystkim
dla własnej potrzeby — ale wspomagany także niejawną zachętą słuchaczy jego
wykładów, którzy bez specjalnej niechęci przyswajali tak pomyślany kurs
topologii. Wykładając topologię przez wiele lat, autor nie musiał się już
obawiać zarzutów o plagiat, pozwalając sobie w końcu na plagiat całkowity.
Topologia przestrzeni euklidesowych jest dyscypliną ciekawą. Twierdzenia
o punktach stałych, o antypodach, przykłady wspólnych brzegów itp. mają
pozamatematyczne interpretacje (bo przecież nie zastosowania), o których się
przyjemnie opowiada. Wykład ścisły uwidacznia jednak inny ich aspekt,
a mianowicie dowody. Mają one swe źródło w geometrii, skąd poprzez „tricki”
kombinatoryczne i aproksymację dochodzi się do sformułowań ciągłościowych.
Na czym oszczędzić, by nie zmęczyć słuchacza, doprowadzając go jednak
pełną dedukcją do twierdzeń końcowych? Trudności dowodowe dzielą się
— ogólnie biorąc — na te, które należą do formalizmu i na wspomniane tricki
dowodowe, których ten dział topologii ma sporo. Jedynie na tych pierwszych
można oszczędzać, ale i tu autor nie ma zamiaru posuwać się aż tak daleko,
aby na przykład uważać, że wszystkie, w racjonalny sposób określane,
odwzorowania są ciągłe. Jeśli jednak dowód pomija, oznacza to, że ta zasada
właśnie działa. Nie rozwija ani formalizmu przestrzeni liniowych (do opisu kompleksów symplicjalnych), ani teorii grup (aby uzyskać kilka twierdzeń
o grupie podstawowej). Ale nie oszczędza aż tak, by zamieszczać twierdzenia
w ćwiczeniach. Wydaje się, że topologia przestrzeni euklidesowych jest na tyle
interesująca, iż zamieszczanie dowodów nie oznacza nudy.
Oczywiście, niniejsza publikacja nie przygotuje czytelnika do podjęcia
aktualnych badań. Autor nie stawiał sobie tego celu, wiedząc, że obszar
aktualnych badań jest odsunięty tak daleko, że nawet podwojenie ilości
materiału nie przybliżyłoby doń w sposób istotny. |