Wykłady z topologii : topologia przestrzeni euklidesowych

Abstract

Czego nowego można się spodziewać po jeszcze jednej książce z topologii, a zwłaszcza poświęconej wielokrotnie i dobrze przedstawianym działom topologii przestrzeni euklidesowych? Zapewne niewiele i autor zdaje sobie sprawę z niewdzięcznego trudu, mimo to napisał książkę — przede wszystkim dla własnej potrzeby — ale wspomagany także niejawną zachętą słuchaczy jego wykładów, którzy bez specjalnej niechęci przyswajali tak pomyślany kurs topologii. Wykładając topologię przez wiele lat, autor nie musiał się już obawiać zarzutów o plagiat, pozwalając sobie w końcu na plagiat całkowity. Topologia przestrzeni euklidesowych jest dyscypliną ciekawą. Twierdzenia o punktach stałych, o antypodach, przykłady wspólnych brzegów itp. mają pozamatematyczne interpretacje (bo przecież nie zastosowania), o których się przyjemnie opowiada. Wykład ścisły uwidacznia jednak inny ich aspekt, a mianowicie dowody. Mają one swe źródło w geometrii, skąd poprzez „tricki” kombinatoryczne i aproksymację dochodzi się do sformułowań ciągłościowych. Na czym oszczędzić, by nie zmęczyć słuchacza, doprowadzając go jednak pełną dedukcją do twierdzeń końcowych? Trudności dowodowe dzielą się — ogólnie biorąc — na te, które należą do formalizmu i na wspomniane tricki dowodowe, których ten dział topologii ma sporo. Jedynie na tych pierwszych można oszczędzać, ale i tu autor nie ma zamiaru posuwać się aż tak daleko, aby na przykład uważać, że wszystkie, w racjonalny sposób określane, odwzorowania są ciągłe. Jeśli jednak dowód pomija, oznacza to, że ta zasada właśnie działa. Nie rozwija ani formalizmu przestrzeni liniowych (do opisu kompleksów symplicjalnych), ani teorii grup (aby uzyskać kilka twierdzeń o grupie podstawowej). Ale nie oszczędza aż tak, by zamieszczać twierdzenia w ćwiczeniach. Wydaje się, że topologia przestrzeni euklidesowych jest na tyle interesująca, iż zamieszczanie dowodów nie oznacza nudy. Oczywiście, niniejsza publikacja nie przygotuje czytelnika do podjęcia aktualnych badań. Autor nie stawiał sobie tego celu, wiedząc, że obszar aktualnych badań jest odsunięty tak daleko, że nawet podwojenie ilości materiału nie przybliżyłoby doń w sposób istotny.