Estimation of the parameters for non-stationary time series with long memory and heavy tails using weak dependence condition

Abstract

Wnioskowanie statystyczne dla nieznanych rozkładów statystyk lub estymatorów można oprzeć na rozkładach asymptotycznych. Niestety, w przypadku danych zależnych, takie procedury statystyczne są¸ niejednokrotnie nieefektywne. Różne są¸ tego przyczyny, np. zbyt ma la liczba danych, nieznana postać rozkładu asymptotycznego, zbyt wolna zbieżność do rozkładu asymptotycznego. Od początku lat osiemdziesiątych ubiegłego wieku intensywnie prowadzone są badania nad rozwojem tzw. metod resamplingowych. Za pomocą tychże metod można bezpośrednio przybliżać nieznane rozkłady statystyk i estymatorów. Idea resamplingu jest prosta. Obliczamy replikacje estymatora i z tych replikacji wyznaczamy rozkład empiryczny tzw. rozkład resamplingowy. Problem, z którym trzeba się zmierzyć badając procedury resamplingowe to ich zgodność, tzn. czy rozkład resamplingowy jest bliski prawdziwemu rozkładowi ? Metod resamplingowych jest wiele. Ich zgodność w przypadku obserwacji niezależnych została dogłębnie zbadana. Przypadek danych stacjonarnych ze swoistą strukturą zależności tzn. silnie mieszających także został zbadany. Przedmiotem intensywnych prac badaczy był również resampling dla niestacjonarnych szeregów czasowych ze specyficzną formą niestacjonarności tzn. okresowych i prawie okresowych. Ostatnie badania nad metodami resamplingowymi koncentrują się głównie na szeregach czasowych ze zdefiniowana¸ przez Paula Doukhana słabą zależnością. W niniejszej pracy został przedstawiony model dla szeregów czasowych, które maja¸ bardzo specyficzne własności tzn.: posiadają długa¸ pamięć, ciężkie ogony (stabilne lub GED) oraz strukturę okresową. Taki model może mieć naturalne zastosowanie w wielu dziedzinach np.: energetyce, wibromechanice, telekomunikacji, klimatologii jak również w ekonomii. Celem pracy jest pokazanie twierdzeń dotyczących zgodności estymatora jednej z metod resamplingowych dla funkcji średniej we wspomnianych powyżej szeregach czasowych. Okazuje się, że jedyną metodą resamplingową, którą można zastosować do danych z długą pamięcią jest subsampling. Polega ona na wyborze z obserwacji wszystkich możliwych podciągów o pewnej długości i wyznaczaniu estymatora na tych podciągach. W pracy sformułowano i udowodniono centralne twierdzenia graniczne, niezbędne do udowodnienia zgodności subsamplingu. Ponadto przedstawiony został przegląd dotychczasowych rezultatów dotyczących metod resamplingowych w szeregach czasowych.