Partition of energy in quantum systems

Abstract

Niniejsza rozprawa doktorska poświęcona jest zagadnieniu energetyki układów kwantowych oddziałujących z termostatem. Omawiany problem został opisany w oparciu o model Caldeiry-Leggetta: kwantowa cząstka (układ kwantowy) plus kwantowy termostat składa jący się z nieskończonej liczby niezależnych oscylatorów harmonicznych. Analiza przedstawiona w pracy jest oparta na uogólnionych równaniach Langevina, które rozwiązywałem przy użyciu metody tranformacji Laplace'a. Zagadnienie któremu poświęcona jest ta rozprawa nie jest w żadnej mierze nowym problem, niemniej jednak nawet tak dobrze poznane układy mogą skrywać w sobie ciągle nieodkryte własności. To z kolei mo ż e prowadzi ć do g łę bszego zrozumienia problemu oraz sformu ł owania nowych interpretacji. W rozprawie tej zawarłem analizę dwóch paradygmatycznych i analitycznie rozwiązywalnych modeli: swobodnej cząstki Browna oraz oscylatora harmonicznego. Główny rezultat tej pracy zawarty jest w zaproponowanym twierdzeniu o partycji energii na mocy którego zarówno średnia energia kinetyczna Ek w stanie równowagi termodynamicznej, jak i w przypadku oscylatora harmonicznego jego średnia energia potencjalna Ep, mogą zostać wyrażone za pomocą relacji Ek = (Ek) i Ep = (8p), gdzie (Ek) oraz (Ep) są odpowiednio średnią energią kinetyczną i potencjalną przypadającą na jeden stopień swobody oscylatorów harmonicznych wchodzących w skład termostatu. Użyty tu symbol (...) oznacza podwójne średniowanie: 1. ze względu na stany zespołu kanonicznego Gibbsa dla termostatu 2. ze względu na częstości oscylatorów termostatu w, które wnoszą wkład do energii kinetycznej Ek jak i potencjalnej Ep określony poprzez odpowiednie rozkłady prawdopodobieństwa Pk(w) i Pp(w). Wynik ten jest odpowiednikiem klasycznego twierdzenia o ekwipartycji energi dla układów kwantowych i stanowi istotny wkład do kwantowej fizyki statystycznej.