On a Böttcher functional equation and its application for evaluation of a well-known improper integral

Abstract

W pierwszej części rozpatruje się równanie funkcyjne (1) w klasie funkcji K s postaci tp (z ) == aQ + a%x + . . . + aISJa;ISI + x sg (x), gdzie g (x) jest pewną funkcją ciągłą w zerze. Oznaczamy r = logap. Zostały udowodnione następujące twierdzenia. TWIERDZENIE 1. Jedynymi rozwiązaniami równania (1) w klasie funkcji K r spełniającymi warunek <39 (0) = 1 są funkcje <p (x ) = exp cx r. TWIERDZENIE 2. Jeżeli 0 < s < r, to rozwiązanie równania (1) w klasie funkcji K* zależy od dowolnej funkcji. Wyraża się ono wzorem <p(x) = e x p {x ry (logax)}, gdzie y jest dowolną funkcją okresową o okresie 1 i ograniczoną lub cp (x ) = 0. Okazuje się, że jeżeli funkcja cp spełnia równanie (1) oraz cp e K s dla pewnego s, 0 < s < r, to cp 6 K*' takiego, że 0 < s' < r. W drugiej części pokazane jest zastosowanie równań funkcyjnych o jednej zmiennej do obliczania całek niewłaściwych na przykładzie całki danej wzorem (13). Okazuje się, że funkcja określona wzorem (13) spełnia równanie funkcyjne (10) oraz należy do klasy K 1. Na podstawie Twierdzenia 1 możemy obliczyć wartość całki (13).