Scales of Banach spaces, theory of interpolation and their applications

Abstract

Celem książki jest omówienie teorii skal przestrzeni Banacha oraz teorii interpolacji wraz z podaniem przykładów ich zastosowań. Składa się z trzech części, z których dwie pierwsze opisują teorię zastosowaną następnie w trzeciej części, w której zanalizowane są przykłady jej użycia. W pierwszej kolejności opisane są teoretyczne podstawy teorii interpolacji. Podane zostały definicje oraz podstawowe twierdzenia dotyczące konstrukcji przestrzeni interpolacyjnych (interpolacja rzeczywista i zespolona). Druga, główna część przedstawia definicję potęg ułamkowych operatorów, w szczególności dodatnich operatorów sektorialnych. Następnie zaprezentowane jest ich zastosowanie do konstrukcji skal przestrzeni Banacha, które jako główny obiekt badań są przykładem przestrzeni interpolacyjnych. W pracy podana jest charakteryzacja skal przestrzeni Banacha, która służy jako podstawa teoretyczna do opisu zastosowań tej teorii. W trzeciej części pokazane jest wykorzystanie podanej wcześniej teorii do badania „zachowań” operatorów na różnych poziomach skali. Udowodnione zostały twierdzenia dotyczące operatorów domkniętych oraz operatorów sektorialnych. Gwarantują one, pod pewnymi założeniami, posiadanie tych własności przez operatory rozważane na dowolnych poziomach skali. Następnie opisane są konkretne równania cząstkowe, w rozwiązywaniu których można zastosować powyższą teorię. Podane przykłady dotyczą szukania rozwiązań o większej regularności pewnych równań drugiego rzędu z warunkami brzegowymi typu Dirichleta oraz rozwiązywania nieliniowego równania Laplace’a w oparciu o teorię Henry’ego, która dotyczy równań z nieliniowością spełniającą warunek Lipschitza na podzbiorach ograniczonych.