| Abstrakt: | Niech R będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Wśród wszystkich odwzorowań
pomiędzy il-modułami można wyróżnić takie, które są scharakteryzowane
przez pewne warunki typu równości. Na przykład odwzorowania liniowe spełniają
następujące dwa warunki:
(1) f(rx) = rf(x) ,r € R,
(2) f ( x + y) = f ( x ) + f(y),
gdzie x , y są dowolnymi elementami dziedziny /.
Odwzorowania kwadratowe można scharakteryzować przy pomocy następujących
warunkow:
(1) f(rx) — r2f(x), t G R,
(2) funkcja dwoch zmiennych A2/ określona wzorem
(A2/)(:r, y) = f ( x + y) - f(x) - f{y)
jest dwuliniowa.
Uogólnieniem obu powyższych typów odwzorowań są tak zwane m—odwzorowania
zdefiniowane w [1]. Zostaną one omówione w dalszej części pracy. W [4] udowodniono,
że wszystkie odwzorowania pochodzące z wielomianów jednorodnych stopnia
m są m— odwzorowaniami, jednak, w przeciwieństwie do przypadków m = 1 oraz
m = 2, na ogół nie na odwrót. Oznacza to, że przy m > 2 potrzebne są dodatkowe
warunki typu równości. Przez warunek typu równości będziemy rozumieli
związek • rj f(^2k SjkXk) — 0, gdzie j, k przebiegają skończone zbiory indeksów,
Tj,Sjk € R oraz Xk są dowolnymi elementami dziedziny odwzorowania / . Przy tym
wygodnie jest zakładać, że rj,Sjk są ustalone dla każdej równości. Jeśli natomiast
są one traktowane jako dodatkowe zmienne, to tak rozumianą równość nazywamy
ścisłą. Dokładniej mówiąc, rj oraz sjk rozumiemy wówczas jako ustalone funkcje
wielomianowe skończonej ilości zmiennych o współczynnikach z Z, do których możemy
podstawić dowolne elementy pierścienia (dla przykładu w warunku (1) powyżej
występuje wyrażenie r2, w ktorym zmienną niezależną jest r). Kiedy więc mówimy
o ścisłych równościach, dotyczą one odwzorowań pomiędzy modułami nad dowolnym
pierścieniem przemiennym R.
Klasę A odwzorowań pomiędzy i?-modułami nazywamy równościowo definiowalną,
jeśli składa się ona ze wszystkich odwzorowań / : X —> Y (X , Y G R — Mod) spełniających
ustalony zestaw warunków typu równości, tzn. takich odwzorowań, dla
których
^ ^ijk-Ek) — 0, i G G X
} k
przy pewnych ustalonych Tij,Sijk ￡ R. Jeśli R nie jest ustalonym, lecz dowolnym
pierścieniem i równości te są ścisłe, to klasę także nazywamy ścisłą.
Klasa Horrid odwzorowań pochodzących od wielomianów jednorodnych stopnia
m nad ustalonym pierścieniem R na ogoł nie jest równościowo definiowalna. Winę
za to ponosi fakt, że z reguły wielomiany i odwzorowania wielomianowe nie są tym
samym. Istnieje jednak najmniejsza klasa równościowo definiowalna ED(HomJj)
zawierająca H o r n przy czym wiadomo z [7], że klasy te są równe nad dowolnym
ciałem. Inną sprawą jest kwestia, czy ta klasa jest ścisła, czy też nie. Odpowiedź
na to pytanie daje [3], Theorem 6.2. Okazuje się, że jest tak dokładnie wtedy,
gdy Tri < 5. Równości definiujące klasę ED(Hom^) będziemy nazywali pełnym
zestawem równości dla klasy H o r n Jeśli rowności te są ścisłe, będziemy mówili
o pełnym zestawie równości dla klasy Homm. Jedną z równości, którą spełniają odwzorowania
klasy H o r n jest tak zwany warunek regularności. W przypadku
m = 3 pokazuje się ([7]), że klasa ED(Hom?R) jest identyczna z klasą regularnych
3-odwzorowań. W przypadku m = 4 potrzebne są jeszcze trzy dodatkowe ścisłe równości.
Dokładny wynik dla m = 3 i m = 4 przedstawimy w następnym rozdziale.
Przypadek m = 5, jako ostatni niezbadany, jest przedmiotem niniejszej pracy. Dla
m = 5 rozwiązanie składa się z dwóch części. Jedna z wersji pierwszej części została
opublikowana w pracy [2]. W niniejszej pracy przypadek m = 5 zostanie zbadany
niezależnie z wykorzystaniem innej metody, niż było to zrobione w [2]. Warunkiem
zastosowania tej metody jest znajomość relacji spełnianych przez elementy r 2 — r,
r 3 — t oraz r4 — r pierścienia R.
W pierwszym rozdziale podajemy definicje i twierdzenia znane z prac [4], [5], [7].
W rozdziale drugim znajdujemy relacje generujące pomiędzy elementami rn — r,
gdzie n = 2l, l = 1,2,... (Twierdzenie 2.6) oraz relacje generujące pomiędzy elementami
r 3 — r pierścienia przemiennego (Twierdzenie 2.10).
W rozdziale trzecim znajdujemy relacje tworzące pełny zestaw tzw. 3-rowności dla
klasy Horn5 (Twierdzenie 3.3 oraz Twierdzenie 3.4).
W rozdziale czwartym znajdujemy relacje tworzące pełny zestaw tzw. 2-rowności
dla klasy Hom5 (Twierdzenie 4.2 oraz Twierdzenie 4.3).
W rozdziale piątym podsumowujemy badania nad relacjami spełnianymi przez odwzorowania
stopnia 5, zawarte w Podrozdziale 3.2 oraz Rozdziale 4.
W całej pracy stosujemy podwójną numerację, osobno dla twierdzeń, lematów, wniosków
i definicji. |