| Abstract: | Celem niniejszej rozprawy jest przedstawienie konstrukcji sztywnej i K-superuniwersalnej przestrzeni metrycznej oraz zbadanie podstawowych własności funktora Wallmana wraz z ich zastosowaniami.
Pierwsze konstrukcje przestrzeni metrycznych uniwersalnych spotykamy już u Frecheta, zobacz Hechler [8]. Przez uniwersalność przestrzeni metrycznej dla danej klasy C rozumiemy to, że przestrzeń ta zawiera izometryczne kopie wszystkich elementów klasy C. Następne przykłady takich przestrzeni podali m.in. P. Urysohn [13], W. Sierpiński [12], S. Banach i S. Mazur [3]. Przykład Urysohna ma dodatkową własność w-jednorodności, w odróżnieniu od przykładu Banacha i Mazura. w-jednorodność danej przestrzeni X w
połączeniu z uniwersalnością dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych pozwala uzyskać w-superuniwersalność, tzn. każde zanurzenie izometryczne podzbioru skończonego przestrzeni metrycznej przeliczalnej Y w przestrzeń X można przedłużyć do zanurzenia całej przestrzeni Y .
Wspomniane wyżej pojęcia można uogólnić na nieskończone liczby kardynalne.
Charakteryzacja i istnienie odpowiednich dla tych pojęć przestrzeni metrycznych zostały zbadane w pracach Stephena H. Hechlera [8] oraz Miroslava Katetova [9]. Każda K-superuniwersalna przestrzeń mocy k jest
także K-jednorodna. Motywacją dla pierwszej części pracy było przypuszczenie Wiesława Kubisia dotyczące istnienia przestrzeni K-superuniwersalnych, które nie są K-jednorodne. Przypuszczenie to udało się potwierdzić w znacznie mocniejszej wersji: podaję konstrukcję przestrzeni K-superuniwersalnej, która ma dokładnie jedną izometrię.
W drugiej części pracy omówiona jest konstrukcja przestrzeni Wallmana kraty. Konstrukcja ta prowadzi do funktora W z kategorii wszystkich krat normalnych w kategorię przestrzeni zwartych Hausdorffa. Jakkolwiek niektóre wyniki tej części są znane, to uzupełniam je przykładami obrazującymi różnice pomiędzy funktorem Wallmana, a jego zacieśnieniem do kategorii krat Boole’a. |