Skip navigation

Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/20.500.12128/5414
Title: Operatory zachowujące, w sposób przybliżony i dokładny, ortogonalność i relacje pokrewne
Authors: Wójcik, Paweł
Advisor: Chmieliński, Jacek
Keywords: teoria operatorów; ortogonalność
Issue Date: 2013
Publisher: Katowice : Uniwersytet Śląski
Abstract: W celu ułatwienia lektury niniejszej pracy, przedstawimy poniżej jej zarys. Dla zapewnienia wygody w redagowaniu twierdzeń i ich dowodów, w pracy przyjęto, aby terminem operator nazywać odwzorowanie liniowe. Pierwszy rozdział zawiera znane fakty z teorii operatorów (podrozdział 1.1), które będą użyteczne w dalszych rozdziałach. Ponadto w podrozdziałach 1.2, 1.3, 1.4 autor zamieścił swoje wyniki własne dotyczące teorii operatorów, które nie dotyczą bezpośrednio głównego tematu rozprawy, jednakże stanowią ważne narzędzie, stosowane niejednokrotnie w rozdziale drugim. W podrozdziale 1.5 autor przedstawia przy okazji „nowy” dowód, znanego twierdzenia o rozkładzie polarnym operatora określonego na skończenie wymiarowej przestrzeni unitarnej. Niech X, Y będą przestrzeniami unitarnymi, h , f : X —> Y operatorami oraz niech £ € [0,1) będzie ustalone. Prace [11], [12], [47] dotyczą operatorów zachowujących ortogonalność lub prawie zachowujących ortogonalność, tzn. spełniających odpowiednio warunki VIiJ/Gx oc±y => hxLhy (0.1) lub xLy => /x J 5 /y , (0-2) gdzie Jf oznacza przybliżoną (prawie) ortogonalność. We wspomnianych pracach wykazano opis powyższych operatorów. W kontekście tej klasy operatorów narzucają się następujące pytania. Czy operatory spełniające (0.2) można aproksymować (przybliżać) takimi, które spełniają (0.1)? Ile wynosi wtedy najmniejsza odległość ||/ — h\\ lub jak ją oszacować? Czy ta odległość między operatorami zależy od e w taki sposób, że im mniejsze e tym mniejsza odległość operatora h od operatora / ? W ten sposób pojawił się problem stabilności, który w pracach [12] oraz [47] został rozwiązany. Celem tej rozprawy jest zaprezentowanie nowych, niekiedy ogólniejszych wyników dotyczących zachowywania ortogonalności (lub podobnych relacji) przez operatory w przestrzeniach unitarnych bądź unormowanych. Autor rozprawy starał się uogólnić wspomniane wyniki dwoma sposobami. W pierwszym z nich ortogonalność oraz przybliżoną ortogonalność wektorów zastąpiono dowolnym (ale ustalonym) kątem pomiędzy wektorami oraz odpowiednio przybliżonym kątem. Zatem chodzi wtedy o operatory zachowujące (lub prawie zachowujące) dany kąt. Podobnie jak wcześniej, tak i teraz, pojawia się problem stabilności. Uzyskane uogólnienia pozwoliły na otrzymanie dodatkowych rezultatów takich jak na przykład istotne wzmocnienie wyników z pracy [30]. Ponadto, ulepszono znacznie pewien rezultat z pracy [47] w przypadku zespolonym. Wszystko, o czym teraz wspomnieliśmy, znajduje się w podrozdziałach 2.1, 2.2, 2.3 oraz 2.4 rozdziału 2. Natomiast w podrozdziale 2.5 prowadzone są rozważania na temat struktury zbioru wszystkich operatorów prawie zachowujących ortogonalność. W szczególności wykazano tam, że zbiór wszystkich operatorów prawie zachowujących ortogonalność jest otwarty w przestrzeni B{X]Y) . Drugi sposób uogólnienia operatorów spełniających (0.2) lub (0.1) polega na rozważaniu przestrzeni unormowanych (w dziedzinie i przeciwdziedzinie operatorów) zamiast przestrzeni unitarnych jak dotychczas. Z kolei te uogólnienia zostały rozmieszczone w rozdziałach 4 oraz 5, które są rozwinięciem bądź kontynuacją tematów z [17] oraz [48]. Ponadto, rozdziały 4 i 5 są również uzupełniem do prac [16] i [38]. Oczywiście aby uogólnienia te miały sens, należy wcześniej zdefiniować „nowe” relacje w przestrzeni unormowanej, które byłyby odpowiednikami obu relacji J_, _lf. Należy przy tym zadbać o to, żeby ta „nowa definicja ortogonalności”, zastosowana w przestrzeni unitarnej, zbiegała się ze standardową ortogonalnością. Rozdział 3 jest właśnie ukierunkowany na różne sposoby definiowania ortogonalności w przestrzeniach unormowanych. Ponieważ ortogonalność można definiować na wiele sposobów w przestrzeni unormowanej, autor duży nacisk położył na relacje p±-ortogonoalności oraz p-ortogonalności, jak również na operatory zachowujące te relacje. Przedstawiony w tamtym rozdziale materiał, w szczególności w podrozdziałach 3.2, 3.3, stanowi kontynuację tematyki badanej w pracach [17] oraz [19]. W podrozdziale 3.3 podano warunki równoważne gładkości oraz semi-gładkości normy. Warto w tym miejscu wspomnieć, że zagadnienia stabilnościowe operatorów, omawianych w dwóch ostatnich rozdziałach, są silnie powiązane ze stabilnością liniowych izometrii. Ta ostatnia tematyka była intensywnie badana już od lat 60-tych XX wieku, na przykład w pracach [5], [6], [7], [20], [27], [35], [42]. Twierdzenia, lematy i wnioski będące efektem badań prowadzonych przez autora, są podane zawsze z dowodem. Natomiast przy twierdzeniach innych autorów zawsze jest podany odsyłacz do prac, w których można je odnaleźć.
URI: http://hdl.handle.net/20.500.12128/5414
Appears in Collections:Rozprawy doktorskie (WMFiCH)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Wojcik_Operatory_zachowujace_w_sposob_przyblizony.pdf3,06 MBAdobe PDFView/Open
Show full item record


Items in RE-BUŚ are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.