| Abstract: | Rozprawa doktorska „O pewnych równaniach funkcyjnych ze złożeniami funkcji niewiadomej” jest poświęcona czterem równaniom funkcyjnym i równaniom z nimi stowarzyszonym. Praca jest podzielona na cztery rozdziały. W rozdziale pierwszym omawiamy ogólne własnosci oraz rozwiazania regularne i nieregularne równania
Brillou et–Belluot. Rozdział drugi poswiecamy (uogólnionemu) równaniu Brzdęka. W rozdziale trzecim przedstawiamy wyniki dotyczace równania Cuculi ere i jego uogólnionych wersji. Czwarty rozdział poświęcamy równaniu Borosa–Daróczyego i związanym z nim równaniom. Wspólna cecha prawie wszystkich omawianych w pracy równań jest ich związek z funkcjami addytywnymi. W odpowiednich klasach funkcji rozwiązania czterech
tytułowych równań są addytywne. Ponadto, równanie Brzdęka i symetryczne równanie Cuculi ere uogólniaja równanie Cauchy’ego. Przenosimy pewne wyniki dotyczące funkcji addytywnych na ogólniejsze równania, ewentualnie przy dodatkowych założeniach. Przytaczamy także przykłady pokazujące istotność założeń w twierdzeniach. Podamy teraz definicje pewnych pojęć użytych w rozprawie.
Jeśli G jest dowolnym zbiorem oraz +: G G ! G jest funkcja, to parę (G;+)
nazywamy grupoidem, a funkcje + nazywamy działaniem w grupoidzie. Mówimy, że grupoid (G;+) jest prawostronnie [lewostronnie] skracalny, gdy dla wszystkich elementów x; y; z 2 G zachodzi implikacja
x + z = y + z ) x = y [z + x = z + y ) x = y]: Jeśli grupoid (G;+) zawiera zero, to definiujemy mnożenie dowolnego elementu x 2 G przez liczbę zero wzorem 0x = 0. Jeśli zbiór S jest niepusty i para (S;+) jest grupoidem, oraz działanie + jest łączne, to grupoid (S;+) nazywamy półgrupą (w tekście struktury oznaczamy zazwyczaj tylko przez podanie zbioru, na którym określone jest działanie). Niech (S;+) będzie półgrupa. Dzięki założonej łączności działania, można mówić o sumie dowolnej skończonej liczby elementów zbioru S.
Korzystając z tego, definiujemy mnożenie dowolnego elementu x półgrupy S przez liczbę naturalną n wzorami 1x = x oraz nx = (n 1)x + x, gdy n 2.
Jeśli zbiór (G;+) jest grupa, to określamy także mnożenie elementów zbioru G przez ujemne liczby całkowite wzorem mx = (m)(x) dla każdego punktu x 2 G i dla każdej ujemnej liczby całkowitej m. Jeśli (G;+) jest grupoidem, m jest liczba całkowita i mnożenie przez m jest określone w grupoidzie G, to dla każdego zbioru
A G definiujemy zbiór mA = fmx : x 2 Ag. Niech (S;+) będzie półgrupa i niech A S. Zbiór A nazywamy pochłaniającym, gdy dla każdego punktu x 2 S istnieje taka liczba n 2 N, ze x 2 nA.
Niech X będzie zbiorem i niech f : X ! X będzie funkcja.
Symbolem Fixf oznaczamy zbiór wszystkich punktów stałych funkcji f. Ponadto, dla każdej liczby n 2 N [ f0g symbolem fn będziemy oznaczać n-ta iterate funkcji f, to znaczy f0 = id i fn = fn1 f dla każdego n 2 N.
Niech (X; k k) będzie przestrzenia unormowana. Funkcje f : X ! X nazywamy izometrią, gdy kf(x) f(y)k = kx yk dla wszystkich elementów x; y 2 X. Jeśli X jest przestrzenia liniowa nad ciałem K [grupa], oraz f : X ! X jest
funkcja, to dla każdej liczby c 2 K [c 2 Z] definiujemy zbiór Af (c) = fx 2 X : f(x) = cxg:
Niech (G;+) będzie grupoidem i niech f : G ! G będzie funkcją.
Mówimy, ze funkcja f jest addytywna na swoim wykresie, jeśli dla każdego x 2 G spełniona jest równość
f(x + f(x)) = f(x) + f2(x): Funkcje f nazywamy afiniczna, jesli istnieje punkt x0 2 G i taka funkcja addytywna
a: G ! G, ze f = a + x0. Jeśli X jest zbiorem, to symbolem cardX oznaczamy moc zbioru X. |